73 lines
5.5 KiB
Markdown
73 lines
5.5 KiB
Markdown
# Версоры
|
||
|
||
[Кватернионы](quaternion-rus.md) - это гиперкомплексные числа, у которых имеется одна действительная компонента и три мнимых компоненты:
|
||
|
||
q = w + ix + jy + kz, где w - действительная компонена, x, y, z - мнимые компоненты, а i, j, k - мнимые единицы
|
||
|
||
где
|
||
- w, x, y, z ∈ R - действительные числа
|
||
- i, j, k - мнимые единицы, удовлетворяющие следующим условиям:
|
||
- i<sup>2</sup> = j<sup>2</sup> = k<sup>2</sup> = ijk = -1
|
||
|
||
Кватернионы были открыты математиком Уильямом Гамильтоном и представлены публике в 1843 году. Позже Гамильтон предложил особый класс кватернионов, которые назвал версорами.
|
||
|
||
## Что такое версор?
|
||
|
||
Версор - это кватернион, модуль которого равен единице. То есть, к формулам, определяющим кватернионы, необходимо добавить условие, что модуль кватерниона равен единице.
|
||
|
||
К формулам, определяющим кватернион достаточно добавить уравнение равенства модуля единице:
|
||
|
||
q = w + ix + jy + kz
|
||
|
||
где
|
||
- w, x, y, z ∈ R - действительные числа
|
||
- i, j, k - мнимые единицы, удовлетворяющие следующим условиям:
|
||
- i<sup>2</sup> = j<sup>2</sup> = k<sup>2</sup> = ijk = -1
|
||
- w<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> = 1
|
||
|
||
Название происходит от латинского глагола "versare", означающего "поворачивать", "вращать", к которому добавлено латинское окончание -or, обозначающее субъект, выполняющий действие. Дословно латинское слово "versor" можно перевести как "вращатель" или "поворачиватель".
|
||
|
||
## Применение версоров
|
||
|
||
Версоры оказались отличным инструментом для описания поворотов в трёхмерном пространстве. Для комбинации двух последовательных поворотов полезной оказалась операция умножения кватернионов, а для получения обратного поворота - операция взятия сопряжённого кватерниона.
|
||
|
||
При умножении двух версоров (кватернионов единичной длины) и при взятии сопряжённого версора результат также будет версором, то есть кватернионом единичной длины.
|
||
|
||
Сложение и вычитание двух кватернионов, а также умножение и деление кватерниона на число оказались не нужны для описания поворотов в трёхмерном пространстве.
|
||
|
||
Несмотря на то, что версоры как класс кватернионов были предложены ещё Уильямом Гамильтоном для описаний поворотов ещё в середине 19 века, в русскоязычной литературе термин "версор" встречается настолько редко, что можно сказать, что не употребляется.
|
||
|
||
## Преимущества версоров
|
||
|
||
1. **Сохранение модуля**: Версоры сохраняют модуль, равный единице, что предотвращает их вырождение.
|
||
2. **Эффективность**: Библиотека BGC автоматически нормализует версоры только при необходимости, что позволяет избежать лишних вычислений.
|
||
|
||
## Реализация в библиотеке BGC
|
||
|
||
Библиотека BGC предоставляет отдельную реализацию для версоров в виде структур и функций, которые поддерживают модуль версоров близким к единице.
|
||
|
||
### Структуры
|
||
|
||
```c
|
||
typedef struct {
|
||
const float s0, x1, x2, x3;
|
||
} BgcVersorFP32;
|
||
|
||
typedef struct {
|
||
const double s0, x1, x2, x3;
|
||
} BgcVersorFP64;
|
||
```
|
||
|
||
Поля:
|
||
- s0 - это вещественная часть версора.
|
||
- x1, x2, x3 - Мнимые компоненты версора.
|
||
|
||
## Функции
|
||
|
||
| Функция для BgcVersorFP32 | Функция для BgcVersorFP64 |
|
||
|:-------------------------------------------------------------:|:-------------------------------------------------------------:|
|
||
| [bgc_versor_reset_fp32](versor/reset-rus.md) | [bgc_versor_reset_fp64](versor/reset-rus.md) |
|
||
| [bgc_versor_set_values_fp32](versor/set-values-rus.md) | [bgc_versor_set_values_fp64](versor/set-values-rus.md) |
|
||
|
||
|
||
[Назад](intro-rus.md)
|