99 lines
6.2 KiB
Markdown
99 lines
6.2 KiB
Markdown
# Кватернионы
|
||
|
||
Кватернионы - это гиперкомплексные числа, у которых имеется одна действительная
|
||
компонента и три комплексных компоненты:
|
||
|
||
|
||
|
||
Где *q* - это кватернион, *w*, *x*, *y* и *z* - это действительные числа, а *i*,
|
||
*j* и *k* - это мнимые единицы.
|
||
|
||
Кватернион можно представлять по-разному, например, в виде кортежа
|
||
(последовательности) из четырёх чисел:
|
||
|
||
|
||
|
||
В такой форме кватернион напоминает четырёхмерный вектор. И кватернионы
|
||
действительно имеют ряд сходств с четрырёхмерными векторами, например:
|
||
|
||
* сложение и вычитание кватернионов такие же, как и у четырёхмерных векторов;
|
||
* умножение и деление кватериона на действительное число такие же как и для
|
||
четырёхмерного вектора;
|
||
* взятие модуля кватерниона вычисляется также как и для четырёхмерного вектора.
|
||
|
||
Но произведение кватернионов совершенно иное, чем скалярное произведение двух
|
||
четырёхмерных векторов.
|
||
|
||
Ещё одним способом представления кватерниона является пара из действительного
|
||
числа и трёхмерного вектора:
|
||
|
||
|
||
|
||
Кватернионы обладают массой интересных свойств и применений. В геометрии
|
||
основным применением является описание поворотов в трёхмерном евклидовом
|
||
пространстве.
|
||
|
||
Обычно для представления поворотов используются кватернионы с модулем, равным
|
||
единице. Такие кватернионы называются [версорами](./versor-rus.md).
|
||
|
||
## Реализация кватернионов в библиотеке
|
||
|
||
В библиотеке кватернионы реализованы в двух вариантах:
|
||
* в виде обычных кватернионов
|
||
* в виде веросоров
|
||
|
||
Главное отличие в реализации кватернионов и версоров том, что реализация
|
||
версоров ориентирована именно для представления поворотов в трёхмерном
|
||
евклидовом пространстве пространстве, в то время как кватернионы имеют более
|
||
общую реализацию.
|
||
|
||
Версоры нельзя складывать, вычитать. Также версоры нельзя умножать и делить на
|
||
вещественные числа. Но кватернионы можно складывать, вычитать, а также умножать
|
||
и делить на вещественное число.
|
||
|
||
Версоры можно комбинировать. Операция комбинирования версоров является обычным
|
||
произведением кватернионов. Единственное отличие в том, что операция
|
||
комбинирования версоров обеспечивает, чтобы результат комбинации также имел
|
||
модуль, равный единицы.
|
||
|
||
Все функции версоров, которые менияют состояние версора, обеспечивают, чтобы
|
||
модуль версора оставался близким к единице.
|
||
|
||
Да, модуль версора очень близок к единице, потому что числа с плавающей запятой
|
||
не совершенны и имеют небольшие погрешности. Поэтому модуль не всегда равен
|
||
единице, но очень близок к единице.
|
||
|
||
Для описаия кватернионов есть две структуры:
|
||
|
||
typedef struct {
|
||
float s0, x1, x2, x3;
|
||
} BgcQuaternionFP32;
|
||
|
||
typedef struct {
|
||
double s0, x1, x2, x3;
|
||
} BgcQuaternionFP64;
|
||
|
||
|
||
Для описания версоров также имеется две структуры:
|
||
|
||
typedef struct {
|
||
const float s0, x1, x2, x3;
|
||
} BgcVersorFP32;
|
||
|
||
typedef struct {
|
||
const double s0, x1, x2, x3;
|
||
} BgcVersorFP64;
|
||
|
||
Уже в определении структур можно заметить разницу между в реализации
|
||
кватернионов и версоров: поля версоров объявлены как константы, в то время как
|
||
поля кватерниона не являются константами.
|
||
|
||
Это сделано намеренно, чтобы побудить разработчика использовать функции для
|
||
версоров, вместо того, чтобы задавать значения полей напрямую, потому что
|
||
функции версоров обеспечивают, чтобы модуль версора был равен единице.
|
||
|
||
В то же время, разработчик может обращаться к полям версора, чтобы получить
|
||
значения этих полей для своих целей, например, чтобы сделать какие-либо
|
||
вычисления или сохранить состояние версора в файле, или передать версор через
|
||
подключение по компьютерной сети.
|
||
|