Версоры

Кватернионы - это гиперкомплексные числа, у которых имеется одна действительная компонента и три мнимых компоненты:

q = w + ix + jy + kz, где w - действительная компонена, x, y, z - мнимые компоненты, а i, j, k - мнимые единицы

где

w, x, y, z ∈ R - действительные числа
i, j, k - мнимые единицы, удовлетворяющие следующим условиям:
- i² = j² = k² = ijk = -1

Кватернионы были открыты математиком Уильямом Гамильтоном и представлены публике в 1843 году. Позже Гамильтон предложил особый класс кватернионов, которые назвал версорами.

Что такое версор?

Версор - это кватернион, модуль которого равен единице. То есть, к формулам, определяющим кватернионы, необходимо добавить условие, что модуль кватерниона равен единице.

К формулам, определяющим кватернион достаточно добавить уравнение равенства модуля единице:

q = w + ix + jy + kz

где

w, x, y, z ∈ R - действительные числа
i, j, k - мнимые единицы, удовлетворяющие следующим условиям:
- i² = j² = k² = ijk = -1
w² + x² + y² + z² = 1

Название происходит от латинского глагола "versare", означающего "поворачивать", "вращать", к которому добавлено латинское окончание -or, обозначающее субъект, выполняющий действие. Дословно латинское слово "versor" можно перевести как "вращатель" или "поворачиватель".

Применение версоров

Версоры оказались отличным инструментом для описания поворотов в трёхмерном пространстве. Для комбинации двух последовательных поворотов полезной оказалась операция умножения кватернионов, а для получения обратного поворота - операция взятия сопряжённого кватерниона.

При умножении двух версоров (кватернионов единичной длины) и при взятии сопряжённого версора результат также будет версором, то есть кватернионом единичной длины.

Сложение и вычитание двух кватернионов, а также умножение и деление кватерниона на число оказались не нужны для описания поворотов в трёхмерном пространстве.

Несмотря на то, что версоры как класс кватернионов были предложены ещё Уильямом Гамильтоном для описаний поворотов ещё в середине 19 века, в русскоязычной литературе термин "версор" встречается настолько редко, что можно сказать, что не употребляется.

Преимущества версоров

Сохранение модуля: Версоры сохраняют модуль, равный единице, что предотвращает их вырождение.
Эффективность: Библиотека BGC автоматически нормализует версоры только при необходимости, что позволяет избежать лишних вычислений.

Реализация в библиотеке BGC

Библиотека BGC предоставляет отдельную реализацию для версоров в виде структур и функций, которые поддерживают модуль версоров близким к единице.

Структуры

    typedef struct {
        const float s0, x1, x2, x3;
    } BgcVersorFP32;

    typedef struct {
        const double s0, x1, x2, x3;
    } BgcVersorFP64;

Поля:

s0 - это вещественная часть версора.
x1, x2, x3 - Мнимые компоненты версора.

Функции

Функции для BgcVersorFP32	Функции для BgcVersorFP64
bgc_versor_reset_fp32	bgc_versor_reset_fp64
bgc_versor_set_values_fp32	bgc_versor_set_values_fp64

Документация

5.5 KiB Raw Permalink Blame History Unescape Escape