# Кватернионы

Кватернионы - это гиперкомплексные числа, у которых имеется одна действительная
компонента и три комплексных компоненты:

![Определение кватерниона](./media/quaternion_definition.png)

Кватернион можно представлять по-разному, например, в виде кортежа
(последовательности) из четырёх чисел также как четырёхмерный вектор:

![Кватернион-кортеж](./media/quaternion_vector4_form.png)

Можно представлять как пару из числа и трёхмерного вектора:

![Кватернион как число и вектор](./media/quaternion_mixed_form.png)

Кватернионы можно легко вывести из обычных комплексных чисел. Обычные
комлексные числа в качестве в качестве компонент имеют вещественные
числа *a* и *b*:

![Определение комплексного числа](./media/compex_number_000.png)

Но, что если представить, что компоненты *a* и *b* тоже комплексные
числа, но с другой мнимой единицей *j* вместо *i*, при этом
мнимая единица *j* имеет такие же свойства, что и *i*:

![Комплексная единица j](./media/imaginary_j.png)

Тогда компоненты *a* и *b* можно представить следующим образом:

![Комплексные компоненты](./media/compex_number_001.png)

Если подставить их в формулу комплексного числа, то получается:

![Гиперкомплексное число](./media/compex_number_002.png)

В этом выражении наиболее интересно произведение мнимых единиц *ij*. Если
представить, что произведение антикоммутативно, то у произведения
получаются интересные свойства.

![Антикоммутативность](./media/imaginary_anticommutative.png)

Например, если взять квадрат произведения, то получается, что оно ведёт себя
как мнимая единица:

![Квадрат произведения](./media/imaginary_anticommutative2.png)

Таким образом, произведение мнимых единиц *ij* можно обозначить новой мнимой
единицей:

![Новая мнимая единица](./media/imaginary_k.png)

И тогда получается полноценный кватернион:

![Кватернион](./media/quaternion_result.png)

Кватернионы обладают массой интересных свойств и применений. В геометрии
основным применением является описание поворотов в трёхмерном пространстве.

Кватернионы, которые описывают поворот в трёхмерном пространстве называются
[версорами](./versor-rus.md).

## Реализация кватернионов в библиотеке

В библиотеке кватернионы реализованы как в виде обычных кватернионов, так и
в виде веросоров.

Главное отличие в том, что реализация версоров ориентирована именно для
представления поворотов в трёхмерном пространстве.

Версоры нельзя складывать, вычитать, что можно делать с кватернионами. Также
версоры нельзя умножать и делить на вещественные числа.

Но версоры можно комбинировать. Операция комбинирования версоров по является
обычным произведением кватернионов. Единственное отличие в том, что операция
комбинирования версоров обеспечивает, чтобы результат комбинации также был
версором, то есть, имел модуль, равный единицы.

Для описаия кватернионов есть две структуры:

    typedef struct {
        float s0, x1, x2, x3;
    } BgFP32Quaternion;

    typedef struct {
        double s0, x1, x2, x3;
    } BgFP64Quaternion;


Для описания версоров также имеется две структуры:

    typedef struct {
        const float s0, x1, x2, x3;
    } BgFP32Versor;

    typedef struct {
        const double s0, x1, x2, x3;
    } BgFP64Versor;

Уже в определении структур можно заметить разницу между в реализации
кватернионов и версоров: поля версоров объявлены как константы.
Это сделано намеренно, чтобы разработчик, использующий библиотеку мог считывать
данные из полей, но для изменения состояния версора прибегал к использованию
специальных функций, которые обеспечивают, чтобы модуль версора был равен 1.