Улучшение документации
This commit is contained in:
parent
c7e39e1527
commit
a3ff67792d
2 changed files with 57 additions and 60 deletions
|
|
@ -1,49 +1,51 @@
|
|||
# Versors
|
||||
|
||||
[Quaternions](./quaternion-eng.md) are complex numbers which have one real component and three imaginary components.
|
||||
[Quaternions](./quaternion-eng.md) are hypercomplex numbers that have one real component and three imaginary components:
|
||||
|
||||
|
||||
q = w + ix + jy + kz, where w is the real component, x, y, z are the imaginary components, and i, j, k are the imaginary units
|
||||
|
||||
Quaternions were discovered by mathematician William Hamilton and introduced to the public in 1843.
|
||||
i<sup>2</sup> = j<sup>2</sup> = k<sup>2</sup> = ijk = -1
|
||||
|
||||
In the same way, William Hamilton proposed a special class of quaternions, which he called versors.
|
||||
w, x, y, z ∈ R
|
||||
|
||||
Quaternions were discovered by mathematician William Hamilton and introduced to the public in 1843. Hamilton later proposed a special class of quaternions, which he called versors.
|
||||
|
||||
## What is a versor?
|
||||
|
||||
A versor is a quaternion whose modulus is equal to one. That is, the formulas defining quaternions must be supplemented with the condition that the modulus of a quaternion is equal to one.
|
||||
|
||||
|
||||
It is sufficient to add the equation of the modulus being equal to one to the formulas defining a quaternion:
|
||||
|
||||
The name comes from the Latin verb "versare", meaning "to turn", "to rotate", to which is added the Latin ending -or, which denotes the subject performing the action.
|
||||
q = w + ix + jy + kz
|
||||
|
||||
Literally, the Latin word "versor" can be translated as "rotator" or "turner".
|
||||
i<sup>2</sup> = j<sup>2</sup> = k<sup>2</sup> = -1
|
||||
|
||||
Versors turned out to be a pretty good tool for describing rotations in three-dimensional space.
|
||||
w, x, y, z ∈ R
|
||||
|
||||
For the combination of two consecutive rotations, the operation of multiplying quaternions has proven useful, and for obtaining the inverse rotation, the operation of obtaining the conjugate quaternion.
|
||||
w<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> = 1
|
||||
|
||||
The name comes from the Latin verb "versare", meaning "to turn", "to rotate", to which the Latin ending -or is added, denoting the subject performing the action. Literally, the Latin word "versor" can be translated as "rotator" or "turner".
|
||||
|
||||
## Using Versors
|
||||
|
||||
Versors have proven to be an excellent tool for describing rotations in three-dimensional space. The quaternion multiplication operation has proven useful for combining two consecutive rotations, and the conjugate quaternion operation has proven useful for obtaining the inverse rotation.
|
||||
|
||||
When multiplying two versors (quaternions of unit length) and taking the conjugate versor, the result will also be a versor, that is, a quaternion of unit length.
|
||||
|
||||
Addition and subtraction of two quaternions, as well as multiplication and division of a quaternion by a number, turned out to be unnecessary for describing rotations in three-dimensional space.
|
||||
|
||||
## Advantages of versors over quaternions
|
||||
## Advantages of versors
|
||||
|
||||
The main advantage of isolating versors as a separate abstraction from quaternions is that versors retain a modulus equal to one, i.e., versors do not degenerate.
|
||||
1. **Preservation of modulus**: Versors preserve modulus equal to one, which prevents them from degenerating.
|
||||
2. **Efficiency**: The BGC library automatically normalizes versors only when necessary, which avoids unnecessary computations.
|
||||
|
||||
Quaternions whose modulus is not equal to one can, as a result of many multiplication operations, yield a quaternion whose modulus can be so close to zero that it will be comparable to the magnitude of the error.
|
||||
## Implementation in the BGC library
|
||||
|
||||
In practice, the versor module is not always equal to one, but is close to one due to the presence of the **float** and **double** (**binary32** and **binary64**) error types. But the BGC library functions ensure that the modulus of the vertex obtained as a result of some operation does not deviate from unity by an amount not exceeding a specified error.
|
||||
The BGC library provides a separate implementation for versors in the form of structures and functions that keep the versor modulus close to one.
|
||||
|
||||
And this is the second advantage of using versors to describe rotations. The developer who uses the library does not need to perform normalization, as would have to be done with ordinary quaternions.
|
||||
|
||||
But the library functions do not always perform versor normalization, but only when necessary. The library functions normalize the resulting versor only when the versor module deviates from unity by more than a predetermined error value (epsilon).
|
||||
|
||||
In most cases, when the input parameters are versors (normalized quaternions), the magnitude of the resulting versor also does not deviate much from one, and therefore there is no need to perform normalization. Thus, time-consuming operations such as calculating square roots and division can be avoided. This approach improves performance and keeps versors normalized.
|
||||
|
||||
## Implementation of versors in the library
|
||||
|
||||
The library has a separate implementation for versors in the form of special structures and a set of functions that support the versor module close to one, since it is necessary to support the versor module close to one, and versors do not need addition and subtraction, as well as multiplication and division by a number.
|
||||
|
||||
There are two structures for describing a versor:
|
||||
### Structures
|
||||
|
||||
```c
|
||||
typedef struct {
|
||||
const float s0, x1, x2, x3;
|
||||
} BgcVersorFP32;
|
||||
|
|
@ -51,12 +53,10 @@ There are two structures for describing a versor:
|
|||
typedef struct {
|
||||
const double s0, x1, x2, x3;
|
||||
} BgcVersorFP64;
|
||||
```
|
||||
|
||||
The field **s0** is the real part of the versor (normalized quaternion), and the fields **x1**, **x2**, and **x3** are the imaginary components of the versor.
|
||||
|
||||
The fields of the structures are intentionally declared as const to encourage the developer to use functions for working with versors, instead of directly setting the field values. The functions responsible for operations on versors maintain the module of the obtained versors equal to one.
|
||||
|
||||
With these structures, it is better to use special functions that allow setting new values in the fields of the **BgcVersorFP32** and **BgcVersorFP64** structures.
|
||||
- s0 is the real part of the versor.
|
||||
- x1, x2, x3 are the imaginary components of the versor.
|
||||
|
||||
## Operation with versors
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -2,26 +2,33 @@
|
|||
|
||||
[Кватернионы](./quaternion-rus.md) - это гиперкомплексные числа, у которых имеется одна действительная компонента и три мнимых компоненты:
|
||||
|
||||
|
||||
q = w + ix + jy + kz, где w - действительная компонена, x, y, z - мнимые компоненты, а i, j, k - мнимые единицы
|
||||
|
||||
i<sup>2</sup> = j<sup>2</sup> = k<sup>2</sup> = ijk = -1
|
||||
|
||||
w, x, y, z ∈ R
|
||||
|
||||
Кватернионы были открыты математиком Уильямом Гамильтоном и представлены публике в 1843 году. Позже Гамильтон предложил особый класс кватернионов, которые назвал версорами.
|
||||
|
||||
## Что такое версор?
|
||||
|
||||
Версор - это кватернион, модуль которого равен единице. То есть, к формулам, определяющим кватернионы, необходимо добавить условие, что модуль кватерниона равен единице.
|
||||
|
||||
К формулам, определяющим кватернион достаточно добавить уравнение равенства модуля единице:
|
||||
|
||||
q = w + ix + jy + kz
|
||||
|
||||
i<sup>2</sup> = j<sup>2</sup> = k<sup>2</sup> = -1
|
||||
|
||||
Кватернионы были открыты математиком Уильямом Гамильтоном и представлены публике в 1843 году.
|
||||
w, x, y, z ∈ R
|
||||
|
||||
Вское Уильям Гамильтон предложил особый класс кватернионов, которые назвал версорами.
|
||||
w<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> = 1
|
||||
|
||||
Версор - это кватернион, модуль которого равен единице. То есть, к формулам, определяющим квартернионы, необходимо добавить услвие, что модуль кватериона равен единице.
|
||||
Название происходит от латинского глагола "versare", означающего "поворачивать", "вращать", к которому добавлено латинское окончание -or, обозначающее субъект, выполняющий действие. Дословно латинское слово "versor" можно перевести как "вращатель" или "поворачиватель".
|
||||
|
||||
|
||||
## Применение версоров
|
||||
|
||||
Название происходит от латинского глагола "versare", означаюшего "поворачивать", "вращать", к которому добавлено латнское окончание -or, которое обозначает субъект, выполняющий действие.
|
||||
|
||||
Дословно латинское слово "versor" можно перевести как "вращатель" или "поворачиватель".
|
||||
|
||||
Версоры оказались довольно хорошим инструментом для описания поворотов в трёхмерном пространстве.
|
||||
|
||||
Для комбинации двух последовательных поворотов оказалось полезной операция умножения кватернионов, а для получения обратного поворота - операция получения сопряжённого кватерниона.
|
||||
Версоры оказались отличным инструментом для описания поворотов в трёхмерном пространстве. Для комбинации двух последовательных поворотов полезной оказалась операция умножения кватернионов, а для получения обратного поворота - операция взятия сопряжённого кватерниона.
|
||||
|
||||
При умножении двух версоров (кватернионов единичной длины) и при взятии сопряжённого версора результат также будет версором, то есть кватернионом единичной длины.
|
||||
|
||||
|
|
@ -29,26 +36,18 @@
|
|||
|
||||
Несмотря на то, что версоры как класс кватернионов были предложены ещё Уильямом Гамильтоном для описаний поворотов ещё в середине 19 века, в русскоязычной литературе термин "версор" встречается настолько редко, что можно сказать, что не употребляется.
|
||||
|
||||
## Преимущества версоров над кватернионами
|
||||
## Преимущества версоров
|
||||
|
||||
Главным преимуществом выделения версоров как отдельной от кватернионов абстрации заключается в том, что версоры сохраняют модуль равный единице, то есть, версоры не вырождаются.
|
||||
1. **Сохранение модуля**: Версоры сохраняют модуль, равный единице, что предотвращает их вырождение.
|
||||
2. **Эффективность**: Библиотека BGC автоматически нормализует версоры только при необходимости, что позволяет избежать лишних вычислений.
|
||||
|
||||
Кватернионы, модуль которых не равен единице в результате множества операций умножения могут дать кватернион, модуль которого может оказаться настолко близок к нулю, что будет сопоставим с величиной погрешности.
|
||||
## Реализация в библиотеке BGC
|
||||
|
||||
На практике модуль версора не всегда равен единице, но близок к единице из-за наличия погрешности типов **float** и **double** (**binary32** и **binary64**). Но функции библиотеки BGC обеспечивают, чтобы модуль веросра, полученного в результате некоторой операции, не отколнялся от единицы на величину не превышающую заданную погрешность.
|
||||
Библиотека BGC предоставляет отдельную реализацию для версоров в виде структур и функций, которые поддерживают модуль версоров близким к единице.
|
||||
|
||||
И это является вторым преимуществом применения именно версоров для описания поворотов. Разработчику, который использует библиотеку, не нужно производить нормализацию, как это пришлось бы делать с обычными кватернионами.
|
||||
|
||||
Но функции библиотеки не всегда производят нормализацию версоров, а только тогда, когда это необходимо. Функции библиотеки нормализуют полученный версор только тогда, когда модуль версора отклоняется от единицы больше, чем на предопределенную величину погрешности (эпсилон).
|
||||
|
||||
В большинстве случаев, когда входные параметры являются версорами (нормализованными кватернионами), модуль полученного версора также не сильно отклоняется от единицы, а потому нет необходимости производить нормализацию. Таким образом, можно избежать трудоемких операций, таких как вычисление квадратных корней и деление. Такой подход позволяет повысить производительность и поддерживать версоры нормализованными.
|
||||
|
||||
## Версоры в библиотеке
|
||||
|
||||
Библиотека имеет отдельную реализацию для версоров в виде специальных структур и набора функций, которые поддерживают модуль версоров близким к единице, посольку необходимо поддерживать модуль веросоров близким к единице, а также версорам не нужны сложение и вычитание, а также умножение и деление на число.
|
||||
|
||||
Для описания версора имеется две структуры:
|
||||
### Структуры
|
||||
|
||||
```c
|
||||
typedef struct {
|
||||
const float s0, x1, x2, x3;
|
||||
} BgcVersorFP32;
|
||||
|
|
@ -56,12 +55,10 @@
|
|||
typedef struct {
|
||||
const double s0, x1, x2, x3;
|
||||
} BgcVersorFP64;
|
||||
```
|
||||
|
||||
Поле **s0** вещественной частю версора (нормализованного кватерниона), а поля **x1**, **x2** и **x3** являются мнимыми компонентами версора.
|
||||
|
||||
Поля структур намеренно объявлены констрантными (const), чтобы побудить разработчика использовать функции работы с версорами, вместо того, чтобы непосредственно задавать значения полей. Функции отвечающие за операции над версорами поддерживают модуль полученных версоров равным единице.
|
||||
|
||||
С данными структурами лучше использовать специальные функции, которые позволяют устанавливать новые значения в поля структур **BgcVersorFP32** и **BgcVersorFP64**.
|
||||
- s0 - это вещественная часть версора.
|
||||
- x1, x2, x3 - Мнимые компоненты версора.
|
||||
|
||||
## Операции с версорами
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Add table
Add a link
Reference in a new issue